问arcsinx 定义域怎么求 推导方法详解

arcsinx 也就是反正弦函数，它的定义域是闭区间负一到一，也就是 x 大于等于负一同时小于等于一，这个结果是由正弦函数的反函数定义决定的，正弦函数 y 等于 sinx 本身值域就是负一到一，反函数的自变量就是原函数的值域，所以 arcsinx 里面的 x 就必须落在负一到一这个范围，超出这个区间，不存在对应的实数角度，反正弦函数就没有实数值，学习的时候要区分定义域和值域，arcsinx 定义域是负一到一，值域是负二分之派到正二分之派，很多同学容易把两者记混。

理解这个知识点的原因，是反三角函数不是正弦函数在全体实数上的反函数，因为正弦函数在全体实数上是周期函数，一个 y 值会对应无数个 x，不满足一一对应，所以需要把正弦函数限定在单调区间负二分之派到正二分之派上，构造一一对应的单调分支，之后才能求反函数，原正弦函数在这个单调分支上输出 y 的范围是负一到一，转换为反函数之后，y 变成自变量 x，所以 arcsinx 的定义域就是负一到一。

求解推导步骤

第一步 写出原函数 y 等于 sinx，选定单调主值区间 x 属于负二分之派到正二分之派

第二步 确定原函数在这个区间上的值域，y 的取值范围是负一小于等于 y 小于等于一

第三步 根据反函数定义，反函数 arcsinx 的自变量就是原函数的值域，所以 x 满足负一小于等于 x 小于等于一

第四步 写出最终定义域，闭区间负一到一

相关对照表格

表格

拓展应用要点

1 如果题目是复合函数，比如 arcsinx 里面套表达式，例如 arcsin (2x 减 1)，就不能直接写负一到一，要让括号里面整体满足负一小于等于括号内式子小于等于一，解不等式得到新的定义域

2 做题的时候看到 arcsinx 参与积分 求导 复合函数运算，首先第一步就要检查自变量是否落在定义域内

3 端点 x 等于负一和 x 等于一是包含在内的，是闭区间，不是开区间

掌握之后，单独 arcsinx 直接记住定义域负一到一，遇到复合形式就把内层整体当成 x，套用负一到一的不等式求解，这个是反正弦函数最基础的考点，和 arccosx 的定义域保持一致，arccosx 定义域同样也是负一到一。

【相关 FAQ】

问题 1 arcsinx 定义域怎么求 为什么不能取大于一的数

回答 1 arcsinx 定义域怎么求，核心原因是正弦函数的值域最大就是一最小就是负一，大于一的数不存在对应的实数角度，所以 arcsinx 定义域不能取大于一的数值

问题 2 arcsinx 定义域怎么求 复合函数 arcsin (3x) 要怎么解

回答 2 arcsinx 定义域怎么求，复合函数 arcsin (3x) 需要让内层 3x 满足负一小于等于 3x 小于等于一，解不等式得到 x 属于负三分之一到三分之一闭区间

问题 3 arcsinx 定义域怎么求 定义域和值域是不是一样

回答 3 arcsinx 定义域怎么求，arcsinx 定义域是负一到一，值域是负二分之派到正二分之派，二者数值范围不一样，不要混淆

问题 4 arcsinx 定义域怎么求 x 等于一的时候 arcsinx 有定义吗

回答 4 arcsinx 定义域怎么求，x 等于一是闭区间里面的端点，属于 arcsinx 定义域，此时 arcsin1 等于二分之派

【免责申明】

本文为高中以及大学微积分反三角函数基础知识点讲解，内容仅作为学习参考，答题请以教材和考纲表述为准。